あの日夢見た願いを叶えるために、って英語でなんて言うの？

一番自然な表現は上の通り、to make that dream come true 「あの夢を叶えるために」です。
もっと遠回しの表現なら、次のようなのが思い浮かびます。
To realize that dream we had long ago.
「昔夢見た願いを実現させるため」。
この場合はweをつかったので、「私たちの夢」という意味になります。「私の夢」ならweの代わりにIを使います。