日本語の「リレー」は英語からの外来語なので、そのままrelayです。
「リレーをする」（動詞として使う場合）はto run a relayです。
例
[会社](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36366/)の[大会](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32158/)でリレーをします。
I’m running a relay at a company event.
リレーで走っていたのはあなたですか？
Was that you running in the relay?
relay = リレー
run = 走る
リレーは英語の「relay」と同じですので意味はそのままですが、よく「relay」だけではなく「relay race」と言います。Relayは様々な意味を持つ言葉ですからraceを加えると意味のより明らかな表現になります。
そして、「baton race」とも言えます。Batonはフランス語で「[枝](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51387/)」という意味です。リレーの中で継ぐ人に枝を渡すという行動が表現（換喩）の由来です。
例文：Are you coming to the company baton race on Saturday?
(土曜の[会社](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36366/)リレーに来ますか？)
リレーは英語で relay race と言います。しかし、race を省略して単に relay を言う人が多いです。例えば「会社の部署でリレー大会に出ることになったため、毎週末リレーの練習をしています」と言いたいなら My department is participating in a relay race, and so every weekend I'm practicing for the relay race と言えます。
ご参考になれば幸いです。
リレーはrelayです。
Since my department is participating in a relay, I’m training every weekend.
部署でリレーに出ることになったので毎週末練習しています。
I was chosen as a relay runner.
リレーの選手に選ばれました。
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