I will look up how to send it, but it may be expensive.
分を区切って説明します。
I will look up→ 調べます
how to send it, → 送り方を、輸送方法を。この場合itを使いました。絵が一枚だけの場合はitで複数ならthemです。
but it may be expensive.→ 高額かもしれません。may be（maybeとは文法的に違います）は「～かもしれません」という意味です。
I'll look into the different ways I could ship it, but I have a feeling it will be quite expensive.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI'll look into the different ways I could ship it, but I have a feeling it will be quite expensive.
「いろいろな送る方法を調べてみますが、高額になると思います」
I have a feeling it will be ...「…になる予感がする」
ご参考まで！
I’ll look into ways to ship the painting, but it might be expensive.
・I’ll look into ways to ship the painting, but it might be expensive.
「絵の輸送方法は調べてみますが、高額になるかもしれません」
・I’ll check shipping options for the painting, though it could be quite costly.
「油絵の配送方法を確認してみますね、ただかなり高額になる可能性があります」
look into で「（方法などを）調べる」、costly や expensive で「高額な」という意味になります。
他には：
I'm looking into international shipping for the painting, but please note it may be pricey.
「絵の海外発送について調べていますが、費用が高くなるかもしれない点をご了承ください」
ご質問ありがとうございました。
お役に立てれば幸いです。
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