What do you know? We've only been living together for just over a month.
「１か月ちょっと」はjust over a monthと訳しました。just overは「～よりちょっと上」という意味です。あらゆる面で使えます。
「私の何がわかるの？」を単純にwhat do you know?と訳しました。「私の」が入っていませんが、「あなたに何がわかるの！？」という意味でよく使われる表現です。
You don’t know anything about me! You’ve only known me for a month.
What do you know about me! You’ve only known me for a month!
❶You don’t know anything about me! You’ve only known me for a month.
(あなた、私のこと何も知らないくせに！1ヶ月しか知らないくせに！) というようなニュアンスです。
❷What do you know about me! You’ve only known me for a month!
(あなた、私の何がわかるの！私のこと1ヶ月しか知らないくせに！) というようなニュアンスです。
と言えます。参考に！
アメリカ合衆国 
