"I didn't do it just like you" と "Like you, I didn't do it" は あなたがしなかったように私もしなかったという意味です。 全く同じ意味です。
"I did't do it either" という表現はあなたのようにという言葉が含まれていませが, 私もしなかったということが強調されています。
Just like you didn't, I didn't either.
「あなたが〜しなかったように、私も〜しなかった。」
just like は「〜と同じように」という意味です。
例文：
Just like you didn't go, I didn't either.
「あなたが注文しなかった（行かなかった）のと同様に、私もそうしませんでした。」
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