"The cat doesn't let me sleep" とは「猫がなかなか寝かせてもらえませｎ」という意味です。
そして、"because it's noisy" とは「騒いでだから」を表します。
したがって、"The cat doesn't let me sleep because it's noisy" 「猫が騒いでなかなか寝かせてもらえません」
よかったら、この英文を使ってみてください。
My cat won't let me sleep easily.
「（猫が騒いで）なかなか寝かせてもらえません。」
won't let me sleep は「寝かせてくれない」という意味です。
例文：
My cat is being so noisy tonight that he won't let me sleep easily.
「今夜は猫がすごく騒いでいて、なかなか寝かせてもらえません。」
お役に立てれば嬉しいです。
アメリカ合衆国 
