係の人がさっき、「触っちゃダメ！って言ってたでしょ！」って英語でなんて言うの？

Museum staff told you not to touch that!
博物館（美術館）のスタッフさんが触っちゃダメって（あなたに）言ってたでしょ！

状況次第ですが、展示物なら係の人は博物館または美術館のスタッフでいいと思います。
今回の場合、tell (told)＝ 触らないでと「伝える」を使うのがいいと思います。
ちなみに「スタッフ」は複数の人の集合体を指し、staffsとはなりません。

Museum staff said, "Don't touch!" Remember?
博物館のスタッフさんが「触っちゃダメ！」って言ってたよね。覚えてる？

直接話法だとこちらになります。say(said)「言う（言葉を発する）」の方が使われます。

★ポイント：間接話法か直接話法かにつきましてはすでに回答が出ているので、私は違う視点からご紹介します。

書いていただいた日本語を直訳しようとすると、「係りの人」を主語にしたくなりますが、
英語における主語は、その文の主役ですので、係りの人が主役というよりは、誰に注意されようが、「You」が触ってはいけないということが一番大事ですので、実際にこの現場では、

You are told not to touch anything.

と言いたいところかな、と思いました。

<ご質問者さんのお悩みについてですが、大人が何かを話したり書いたりする際は、セリフをそのまま書く直接話法で書くことは少ないですね。日本語でも同じです。（例、お母さんが、「おもちゃをかたずけなさい」と言いました→お母さんに、おもちゃをかたずけるように言われました。）セリフをそのままいうと、どうしても、幼稚な文章になってしまいます。よって、I told you that..../ She told me that....のような書き方に慣れておく方が実用的だと思います>

英語職人☺