go for a drink ＝ のみに行くという意味です。（アルコールですね。）
invite だと形式張った感じがするので、ask を使ったほうが、カジュアルな感じでしっくりくると思います。
I asked her to go for a drink. （私は彼女を飲みに誘った）
ご参考になさってください。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I asked her out for a drink.
とすると、「彼女を飲みに[誘った。](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/79705/)」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
ask someone out 誘う
go for a drink 飲みに行く
参考になれば幸いです。
日本 
