潜入調査を依頼するって英語でなんて言うの？

"Detective"は「探偵」という意味ですが、"undercover"は「潜入」という意味なので、"undercover detective"は「潜入調査をする人」という意味になります。

「潜入調査をする人を雇った」という意味です。

I think my husband might be cheating on me, so I asked an undercover detective to look into it
「旦那さんが浮気してるかもしれないと思ったので調べてもらうように潜入調査をする人に頼んだ」という意味です。

「detective」は「刑事」と言う意味であり、警察と関係のある人です。「investigator」 は「人々の履歴とか素行などを調査する資格のある人」と言う意味なので、刑事も刑事ではない人も含まれています。

「private investigator」は警察捜査とかのためじゃなくて、個人的の事件を調査するためにお金をもらう人です。「private investigator」はよく「P.I.」や「private eye」として省略されます。