"Detective"は「探偵」という意味ですが、"undercover"は「潜入」という意味なので、"undercover detective"は「潜入調査をする人」という意味になります。
「潜入調査をする人を雇った」という意味です。
I think my husband might be cheating on me, so I asked an undercover detective to look into it
「旦那さんが浮気してるかもしれないと思ったので調べてもらうように潜入調査をする人に頼んだ」という意味です。