to find out X は「〜を判明する」です。
そして過去形は found out です。
X は名詞なら、 I found out about X と言う形になります。
X は文章なら、I found out that X という形になります。
今回の X は文章なので
「彼は[嘘をついていた](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51955/)ことが判明した」 = I found out that she was lying.
(嘘をついていた = was lying )
こういう文章もつけられます：
I found out about it last week.
[先週](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/54267/)（そのことを）判明した。
found out は、find out の過去形で、’[見つけた](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52881/)’という意味です。
’わたし’が、彼が[嘘](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24259/)をついていたことを見つけた という意味で、判明したという意味合いを含みます。
Turnは「回る、変化させる」という意味があります。
そして、It turned out thatには
「…であることが判明する、であると分かる」
という意味があります。
Lie＝「嘘をつく」現在分詞＝lying.
It turned out he was lying.
「彼はうそをついていたということが分かった（判明した）」
It turns out it was all a lie.
「全部うそだったと判明した」
ご参考まで
「判明した」は英語でfoundやprovedやidentifiedと言えます。「判明した」は過去形なのでfoundとprovedとidentifiedも過去形です。foundは「見つけた」という意味があります。provedは「証明した」の意味です。identifiedは「指す」や「突き止める」の意味があります。
例：
I found out he was lying.
私が彼は嘘をついていたことが判明しました。
The cake on the little girl’s face proved she was guilty of eating the cake.
女の子の顔についているケーキは彼女がケーキを食べた罪があることを判明しました。
He was identified as a witness of the accident.
彼は事故の目撃者として判明しました。
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