I have them sleep first, then I make porridge for him.
porridge はおかゆと言う意味として使います。
have +人＋動詞 で人に(動詞)させると言う意味になります。またはlet him sleepでも同じ意味になります。
When I take care of either my sick friend, or sick family member, first I have them sleep then I make porridge for them. はどのように友達や家族を看病するかと言う意味です。
either はどちらかと言う意味として使います。
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I take care of them by letting them get a lot of rest and making rice porridge for them.
When my family or friends get sick, I take care of them by letting them get a lot of rest and making rice porridge for them.
少し文を分けて意味を確認しましょう。
When my family or friends get sick 家族や友達が風邪をひいた時
I take care of them 私は看病します
by 〜の方法で
letting them get a lot of rest たくさん体を休んでもらうこと
and making rice porridge for them そしておかゆを作ること
おかゆはアメリカにはなくて、知っている人が少ないと思うけど、「porridge」と言う食べ物にちょっと似ているため、おかゆの英語は「rice porridge」です。
ちなみにアメリカ人は風邪をひいたらチキンヌードルスープを食べます(^ ^)
アメリカ合衆国 
