「シェフの奮闘記」って英語でなんて言うの？

struggling diaries とすると奮闘しているのはシェフではなく日記の方になってしまいます（奮闘しているという言葉はdiaries を修飾するので）。　A story ( or The diary) of a Che's struggles というのはあるシェフの奮闘の話　（奮闘を綴った日記）という意味なので、より近いかと思います。