to rescue abandoned dogs は捨てられた犬を保護していますと言う意味です。
rescue dogs who do not have homes は捨てられたあるいはそれによって家をなくしたワンコあるいは違う理由で家がないワンコと言う意味として使います。
I have been rescuing, taking care of stray dogs and finding them a new family for 20 years now. The reason I am doing this is due to the fact that millions of dogs are killed using animal euthanasia every year in Japan. は私 は野犬を保護し世話をし、そして新しい家族を探すボランティアを20年前から続けています。なぜなら日本では毎年、数万頭の犬が殺処分されるからです。と言う意味として使いました。
animal euthanasia は殺処分と言う意味です。
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ご質問ありがとうございます。
「保護」はprotectとかconserveとかpreserveとかshelterなどですが、動物にたいしてrescue(救援)の言葉を使っています。shelterとprotectも使えますね。
例文:I have worked as a volunteer rescuing, caring for, and finding new homes for wild dogs for the last 20 years.
「野犬」に対してabandonedを使えますが、本当の意味はwild dogsです。
ご参考になれば幸いです。