頑張る：do one’s best
※全力を尽くすというニュアンス
I’ll do my best with responsibility.
直訳すると、「責任と共に全力を尽くします。」＝「責任を持って頑張ります」
そのほかの表現としては、
I’ll try my best with responsibility.
「責任を持って頑張ってみます(全力でやってみます)」
※try「試す、努力する」という意味から「頑張る」でも「やってみる」というような少し控え目なニュアンスとなります。
ご参考になれば幸いです。
これはかなり日本的な表現かと思うので、ここは直訳を避けて、
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「You can count on me.」
「Leave this to me.」
（お任せください。）
「You can count on me to make this succeed.」
（必ずや成功に導いてまいります。）
「I won't disappoint you.」
「I won't let you down.」
（絶対に失望させません。）
「It's as good as done.」
（成功したも同然です。）
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などが良いかと思います！
日本 
アメリカ合衆国 
