なるべく早く対応しますって英語でなんて言うの？

対処する　は deal with~ がよく使われますが、work on~やaddress (~に取り組む）を使ってもよいですね。

なるべく早く　は、おなじみの as soon as possible　（ASAP とよく略しますが、略さないほうがフォーマルです）

その他にimmediately や、shortlyなどを使っても良いでしょう。

なお、会話ですと、たとえばWe will は、通常We'll となりますが、書く時は、略さないネイティブも多く、略さない方がフォーマルで自信あふれる感じになります。

なるはやでその問題に取り掛かります。

address the issue; この問題に取り掛かります。
Solve/fixなどの解決するという意味ではなく、
addressは「取り組み始める、対処し始める」
という意味です。

関連
We will get back to you after we fix the problem
問題解決後そちらにご連絡します。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

I/We will deal with it as soon as possible.
なるべくはやく対応いたします。

as soon as possible は「可能な限りはやく」という意味の英語表現です。

ぜひ参考にしてください。