私には何言ってもいいと思ってるって英語でなんて言うの？

最初の例はそのまま「彼は私になんでも言えると思ってる」になります。「なんでも」は「anything」になります。 次の例はもう少し幅広く使えるように「彼は何を言っても（責任から）逃れられると思ってる/信じてる」と言う表現になります。こちらの例では「get away」で"逃れられる"と表現し状況的には「責任から逃れる」と言う意訳になりますね。「believe」は"信じる、思う"の訳となります。