They suddenly felt sick and I thought that they were going to throw up. I was so surprised!
「突然・いきなり」は suddenly と言う副詞です。
「気持ち悪くなる」は to feel sick と言います。
they は性別がわからない人に使う代名詞なのでここでは子供のことを指します。
その「いきなり気持ち悪くなって」の文章がおわったら、次の文章を始める前に and で繋げます。「吐きそうなのかと思った。」
そう思った人は自分なので、 I になります。「思った」 thought です。
「吐きそうなのか」は they were going to throw up 。thought の後にあったthat は関係代名詞として働いています。
最後に、「びっくりした！」は
I was surprised です。そう言う状態・状況は日本語と違って、英語でを形容詞で表現します。
アメリカ合衆国 
