"Did you catch a cold?"
「風邪をひいていますか?」
"I was out in the rain without a jacket. I might have caught a cold."
「上着も無く雨の中にいたら風邪をひいたかもしれない」
Catch の他に have を使うこともできます。
ご参考になれば幸いです。
Do you have a cold?
風邪をひいていますか?
Got a cold?
風邪ですか?
上記のようにシンプルに言うこともできます。
「風邪をひく」は catch a cold や get a cold と英語で言うことができます。
cold は「冷たい」や「寒い」の意味の他に、名詞の場合は「風邪」にもなります。
"Did you catch a cold?"
「風邪をひいていますか?」直接の翻訳です。"to catch a cold"は決まった表現で、「風邪をひく」に相当します。
あと、誰かが病気に見える時は、単に"Are you sick?"のようにも聞くことができます。それは「病気ですか?」という意味をもっています。
参考になれば幸いです。