あ～、やっぱ、雨降ってきちゃったね～って英語でなんて言うの？

「after all」＝「結局、やっぱり」です。 予想してたことに反して使います。 似た表現に「at last」がありますが、こちらは長い間の努力や我慢に対して、ようやく何かを達成できた際に用います。喜びや嬉しさのニュアンスを含みます。

「あ～、やっぱ、雨が降ってきちゃったね～」の 「あ~、雨が降ってきちゃったね~」の部分は、 Oh, it's rainy now. 「やっぱ」は　just as I expected（ちょうど自分が予想したように） ですので両方合わせて Oh, it's rainy now...just as I expected. あるいは Oh, it began to rain just as I'd expected! となります。 （なお、I'd expected　のI'd は　I had の短縮形です。この場合、文の全般が過去形（began)になっていますので、それより前に予想しているので、過去完了形（I had expected=I'd expected)を使います） 「あ、雨降ってきた(降りだした)！」は、2つ目の文の前半と同じでOKです。 It began to rain! 今も降っているから、It has begun to rain！ としたくなるかもしれませんが、普通は、こういった場合は過去形で書きます。