近所のって英語でなんて言うの？

形容詞で「近所の」という単語ならnearbyになります。
例）
I'll go to a nearby park.
「近所の公園に行きます」

neighboringは、「近所」を意味するneighborやneighborhoodという名詞の形容詞形です。
訳すときは、「近所の」「近くの」「隣接した」といった意味になります。
たまには、名詞のneighborも形容詞として使うことがあります。

Neighboring countries usually have bad relations with each other.
近隣諸国の関係は、たいていの場合、あまりよくない。

vicinityにも「近所」という意味のほかに、「近辺」「周辺」などの意味もあります。
in the vicinityは「～の近くに」という風に訳されています。
vicinityはneighborhoodより広い地域を指す。

Many new buildings have been built in the vicinity of my house.
多くの新しいビルは私の家の近辺で建てられた。