声帯が弱いので喉を潤しながら喋らないとだめなんです。って英語でなんて言うの？

「声帯が弱い」は直訳して weak vocal cords になりますがそれは英語ではちょっと変は表現です。多分「大声出せない」・「歌えない」と思われるでしょう。

「喉の手術を受けたため喉を潤しながら喋らないとだめ」を言うほうが伝わりやすいと思います。
I had surgery = 私は手術を受けた
on my throat = 喉に
so = から
now = 今は
I have to keep my throat moist = 喉を潤しないと
or I can't talk = 話せません
全部合わせて「喉の手術を受けたから今は喉を潤しないと話せません」になります。