「[よろしくお願いします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)」や「[こちらこそ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/123801/)よろしくお願いします」と言うのは日本独特の言い方なので、英語に決まった言い方はありません。
入社の挨拶に対する返事とのことなので、下のように言うと良いでしょう。
1) Nice to meet you too.
「こちらこそよろしくお願いします。」
Nice to meet you には「はじめまして・お会いできて嬉しいです」の他に、初めて会う人に「よろしくお願いします。」というニュアンスもあります。
例：
A: Nice to meet you! I'll be working here from today.
初めまして。今日からこちらで働きます、よろしくお願いします。
B: Nice to meet you too.
こちらこそ、よろしくお願いします。
2) I look forward to working with you as well.
「こちらこそ一緒に働けるのを楽しみにしています。」
このように言うのも良いでしょう。
look forward to ... で「…するのを楽しみにする」
ご参考になれば幸いです！
日本語の「[よろしくお願いします。](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)」は、英語に訳しにくいことで有名です。
[中途採用](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/30136/)で入社してきた人に挨拶された（よろしくお願いします。と言われた）とき
英語で
I look forward to working with you
答え⇒I look forward to working with you too
I look forward to working with youもいいです。
Welcome to ○○！ （○○＝会社名）
⇒Thanks! I look forward to working together
ご参考になれば幸いです。
Nice to meet you too.
こちらこそ、よろしくお願いします。
I look forward to working with you.
あなたと一緒に働けるのを楽しみにしています。
上記のように英語で表現することもできます。
英語には「よろしくお願いします」のような万能なフレーズはないので、その都度伝えたいことを考えると訳しやすいかもしれません。
お役に立てればうれしいです。
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