こんにちは。質問ありがとうございます。
残る → to remain
思い出、記憶 → memory
例
私はあなたの思い出に残りたい。
I want to remain in your memory.
上と似たような意味で、「忘れないで」という事も可能です。
例
私を忘れてほしくない。（あなたに忘れられたくない。）
I don’t want you to forget about me.
またの質問をお待ちしております。
remember は単に「おぼえている」ですが、今回のケースでも使えます。
I want you to remember me.
私をおぼえていてほしいから。
もっと思いを込めるなら
I want you to remember me for the rest of your life.
残りの人生（つまり一生）私のことをおぼえていてほしいから。
若干重い気がしないでもないですが、状況によっては使えると思います。
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