To connect with each other through having the same mindset.
この場合はいろいろな言い方見方があるので、複数の言い方を使いました。
最初の言い方では、to pass down は先祖代々に継がれていくという意味として使います。the legacy は伝統という意味として使いました。この言い方は歴史的なものあるいは先祖代々思いを継ぐと言いたい時に一番ぴったりな言い方と思いました。
二つ目の言い方では、inherit は遺伝という意味としてよく使われますが、この場合は受け継ぐという意味として使うので、意味としては似ていますが、ちょっと違う意味として使います。この言い方はその人からその思いあるいは考えを受け継ぐと言いたいときにぴったりだと思います。mindset は考えあるいは思いという意味として使いました。
最後の言い方では、connect with each other はお互いわかり合うという意味として使いました。through having the same mindset は同じような考えを共有することでという意味として使います。この場合はお互い同じ考えあるいは思いを共有しているから、分かち合えるという意味として使いました。
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share one's feelings with ～は、「気持ちを～と分かち合う」という意味です(*^_^*)
前のアンカーの方がピッタリな表現をたくさん挙げておられるので、関連表現として挙げさせて頂きます。
I want to share my feelings with people all over the world.
「世界中の人たちと気持ちを分かち合いたい」
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「想いを繋いでいきたい」と訳せなくはないかなと思います。
アメリカ合衆国 
日本 
