一番使われる表現はto button upやto buttonという表現だと思います。button upは、（下から上まで）連続のボタンを留めるという意味ですので、シャツなら、どちらでも使っても良いです。カフスボタンなどだったらto button the sleeve cuffsを言い、to button upは言いません。
例えば、
He couldn't button his shirt with his injured arm
He couldn't button up his shirt with his injured arm
He couldn't fasten the buttons on his shirt with his injured arm
彼は腕を負傷している状態でシャツのボタンを留めることができなかった
反対語（ボタンを外す）はunbuttonになりますね。
ご参考になれば幸いです！
最初の言い方は、To close up the buttons は、ボタンを留めると言う意味として使われていました。
最初の言い方では、To close up は、留めると言う意味として使われています。例えば、I am going to close up the buttons on my dress. は、ドレスのボタンを留めると言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、To put on the buttons は、ボタンで止めると言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、To put on は、止めると言う意味として使われています。
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