"私は○○を誤解してた"と最初の例のように表現できますが誤りや思い違いを言い指すのなら「mistook」の方がいいですかね。二番目の例のように「I mistook "A" for "B"」で"ＡをＢと間違いました/誤解しました"とも表現できます。あと必ずしも「」や「」で誤解を表す必要もないかと。
例
・I mistook the time the movie will start for 5o'clock when it was actually 6o'clock（本当は６時に始まる映画が５時に始まると誤解してました）
・I thought that "A" lived in Tokyo when "A" actually lives in Kanagawa（Ａさんは実際には神奈川に住んでいるのに東京に住んでいると思ってました）
I thought the movie was starting at 5 o'clock but I misunderstood.
I thought A lived in Tokyo, but I was wrong. He lives in Kanagawa.
この場合、次のような言い方ができます。
ーI thought the movie was starting at 5 o'clock but I misunderstood.
「映画は5時に始まると思っていたが誤解だった」＝「5時に始まると誤解していた」
ーI thought A lived in Tokyo, but I was wrong. He lives in Kanagawa.
「Aは東京に住んでいると思っていたが間違いだった。彼は神奈川に住んでいる」＝「東京に住んでいると誤解していたが、本当は神奈川だった」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
