迅速な対応をお願いしますって英語でなんて言うの？

1.2 ともに、日本語の「対応」という言葉を具体的に「訂正すること」としたほうが相手に伝わりやすくなります。
また非が相手に会ったとしてもeメールの場合、将来どこに転送されてだれの目に留まるかコントロールできませんので文章に品位を保つようにしたほうがよいでしょう。

英文メールでのやり取りと設定しています。

１．改まったフォーマルな表現。
　　相手に対して　be highly appreciated （とてもありがたい）と丁寧さを保ちながらも早期に訂正することを促す言い方
　　prompt （迅速な）

２．標準的な丁寧さ
　　すぐに訂正に取りかかっていただけるとありがたいです。
　　work on （とりかかる）
　　shortly （すぐに）

例：
Your prompt correction is highly appreciated.
迅速にご対応いただけると大変助かります。

It would be great if you could work on the correction shortly.
すぐに訂正に取りかかっていただけるとありがたいです。

メールでのやりとりを前提に回答します。

実際には、メールのタイトルに[URGENT!]と入れたうえで
具体的にいつまでにやって欲しいのかを書いておくのがいいと思います。

Thank you for your quick cooperation and understanding to this matter.
の前に、本件がいかに重要かを伝えて急かすというのも手です。

「問題に対応する」は to settle/to close the issue/the matterです。
特にIT業界だと英語では、open queries and closed queries（未解決案件＆解決済み案件）という風に書きます。

また、怒っていない限りでは、「problem」の単語はお勧めできません。
日本語と違って「問題」の単語は極力避けたい言い方です。特にビジネスの場では。代わりに前向きな言い方がよく利用されています。例えば「challenge」。

miyanagaさんへ

5月のご質問への回答となり、大変恐縮ですが
少しでも参考になればと思い、紹介致します。

immediately は、without delay「遅れることなく」

という意味で、
　
Please solve the problem immediately. は
　「早急に問題解決をお願いしたい」

というニュアンスです。

※注意点としましては、決して丁寧な言い方では
ありませんので（普通は、社外の人にここまで
直接的な言い方は避けた方が無難です）、もし
私が miyanaga さんの立場でしたら、

① 明らかに提携先に非がある状況
（ケアレスミス、凡ミスや、言い訳のできない類のもの）

②なおかつ、一刻も早い問題解決が求められる緊急事態
（大きな損害がでる可能性があるなど、気遣いうんぬんを
気にしている場合ではない時）

・・・というシチュエーションでしたら、会話や
Eメール問わず、使うことはできます。
（というより、使わざるを得ない、という感じでしょうか）

・・・少しでもお役に立てますと幸いです。
miyanaga さんの英語学習の成功を、心より願っております。

LLD外語学院　学院長　前川　未知雄

1. Please get this done as soon as possible.

そこまで丁寧な言い方ではありませんが「可能な限りはやく対応してください」となります。
get something done は「手を打つ」「策を講じる」ような意味になります。

また、as soon as possible は ASAP のように略されることもあります。

お役に立てれば嬉しいです。

A prompt response would be highly appreciated.
迅速なご返信をいただけると大変助かります。

Please get this done as soon as possible.
できるだけ迅速にやってください。

2番目の例はシンプルに、本当に伝えたいことだけ伝えています。
1例目の方が少し丁寧な言い方かもしれません。

こんにちは。

Your prompt response would be highly appreciated.
迅速に対応いただけるととても助かります。

We would appreciate it if you could do this as soon as possible.
可能な限り早く対応いただけると助かります。

ぜひ参考にしてください。

以下のように表現することができます。

Please handle this matter as soon as possible.
こちらの件は可能な限りはやく対応してください。

as soon as possible で「可能な限りはやく」を英語で表現することができます。

お役に立てれば嬉しいです。
またいつでも質問してください。