時間的や肉体的に忙しい訳ではないけど、大事な会議でプレゼンをする等で気持ち的に気合いを入れないといけないような日のこと。
big day は文脈によって意味が変わりますが、大体「大変な日」「色々ある日」「大切な日」「忙しい日」などと訳せると思います。
Tomorrow is a big day.
明日は重要な日だ。
Tomorrow is going to be a big day.
明日は大変な日になるだろう。
他にも1日終えた後に、Today was a big day.「今日は大変1日だったな」というような使い方もできます。