医者に行くって英語でなんて言うの？

「医者に行く」というのは Go to the doctor's になります。 この言い方が（医者のところにいく）（doctor's）というニュアンスがありますので、doctor ではなく doctor's で言います。 go to the hospital は（病院に行く）ということになりますね。 参考になれば幸いです。

I'll go to the doctor tomorrow. 明日医者に行くよ。 I'll go to the hospital tomorrow. 明日病院に行くよ。 「病院に行く」のであれば go to the hospital でいいでしょう。でも「医者に行く」の訳は go to the doctor の方がより近いと思います。 I'll go see a doctor tomorrow. 明日医者に会いに行くよ。 という言い方もあります。口語的ですが、おそらく go (and) see と and が略されているのだと思います。meet ではなくなぜseeなのかというのは説明しにくいのですが、単に会うだけでなく会って話し込む（面会など）時は seeを使うことが多いです。 I'm going to meet my mother at the station. 私は母と駅で会う予定だ。 I'm going to see my mother next month. 来月母と会う予定だ。