されたことでって英語でなんて言うの？

‘されたことで’ はその文章によって使う単語が変わってくると思います
1)‘誰かに価値がないよとバカにされたので、私はやる気がでた‘という表現です
これの場合、バカにされた 後に(after) やる気がでた → after を使って表現できます

2)‘大雨のために電車は遅れている’ という文ですが、
これは due to ~のために、〜が起こったせいで、〜の理由で
という意味で使われますが、これも ‘されたことで’という意味を含みます