こんにちは。質問ありがとうございます。
「うどん」は日本固有の物なので、英語ではそのままローマ字にし、udonと言います。
日本語では、「うどん屋」は「レストラン」とは違うイメージかもしれませんが、英語では飲食店は全部restaurant「レストラン」になるので、「うどん屋」はudon restaurant「うどんレストラン」と言います。
例
うどん屋さんで働いでいます。
I work at an udon restaurant.
またの質問をお待ちしています。
「うどん屋」を指す英語の表現は "udon noodle shop" または "udon restaurant" となります。どちらもうどんを専門に提供する飲食店を意味するフレーズです。例えば、
I want to eat at an udon noodle shop today. 「今日はうどん屋で食べたい。」
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アメリカ合衆国 
