ご質問ありがとうございます。
「me too」の以外で、「I also ~」と言う表現もよく使われています。
「私も」は何かに対しての反応だから、このフレーズを使うとき、言ったことの構造を真似します。
例えば:
A: "I think all dogs are scary." 私はすべての犬が怖いと思う。
B: "I also think so." 私もそう思う。
A: "I want to eat that." 私それを食べたい。
B: "I also want to eat that. 私もそれを食べたい。
ご参考になれば幸いです。