I finally made it through a series of coincidences.
偶然が重なってという表現は単純に表現すれば、英単語a coincidence 偶然を使って表せます。
Through coincidences 複数にすることで様々な偶然を通して、a series of coincidences とすればより連続感が強調されます。
I came up here. come を使うことでここにたどり着いて良かったというニュアンスが出ます。Come という動詞は基本、良い事に通じる時に使い、悪い事に通じる場合はgo を使います。
夢が叶う、come true 物が腐る、悪くなるはgo badですよね。reachedは手が届いた、成功したイメージ、
make itは頑張ってやり遂げたイメージが伴います。
One thing leads to another.は一つのことが次のことに繋がってということで、偶然というイメージを表現してみました。