"How the medical care should be is something I would like to confirm with my own two eyes"と「医療とはどうあるべかこの目で確かめたい」を訳せると思います。
"Confirm"の代わりに"judge"も文脈によっては適するかもしれません。
"...with my own two eyes"とは少し長ったらしいかもしれません。代わりに"...would like to confirm personally"（personally=個人的に）に置きかえても良いと思います。
または、"How should (today's) medical care be? That is something I would like...."と文章を二つに分けると、もう少しインパクトがあると思います。
三番目の"What the way should be"とは「進むべき道は何であるべきか」と訳せます。
I would like to see what responsibilities doctors have to their patients.
I would like to learn about a doctor’s responsibilities.
どうあるべきか は、医者が患者に対してどんな責任があるか というような意味合いで表現できるかと思います
1) I would like to ~ ~ したい I want to~ より丁寧な言い方です
to see ~をみる
responsibilities responsibility の複数形で、責任
‘患者に対する医者の責任がどういうものなのか見てみたい’ という意味です
2) ‘医者の責任について学んでみたい’ 1)と同じような意味合いですが、learn 学ぶ、学習する という動詞を使ってます
アメリカ合衆国 
日本 
