最初の言い方は、車で送るという意味として使いました。
最初の言い方では、drive you home は家まで送るねという意味として使います。例えば、My friend texted me that she can drive me back home with her car. は友達が私のことを自分の車で送ってくれるという意味として使いました。
with her car は車を使ってという意味として使います。
二つ目の言い方は、車で家に送るという意味として使いました。
二つ目の言い方では、drive you back は運転するという意味として使います。例えば、She will drive me back to my house in her car. は彼女が私を自分の車に乗せて、家まで送ってくれるという意味として使いました。
in her car は直接私を車の中に乗せるという意味ですが、with her car は車を使ってという意味として使われてるので、同じ意味ではありません。
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I'll give you a lift.
「送っていくよ」
She gave me a ride.
「彼女が送ってくれたよ」
liftでもrideでも、どちらも非常によく日常で使います。
送っていくのはバイクなどもあり得ますが、暗黙の了解で通常は車になります。
行き先まで入れるのであれば、
I'll give you a lift to the station.
「駅まで車で送るよ」
I'll give you a lift home.
「（あなたの）家まで車で送るよ」
相手に申し出るのであれば
Can I give you a lift home?
「家まで是非送りますよ」
といった感じでも言えます。
liftがイギリス英語で、rideがアメリカ英語だ、と言われる方もいます。
実際現在でも傾向としてはliftはよりイギリス英語で、rideはよりアメリカ英語で好まれると思います。
ただ、最近ではお互い混ざっているのか、もしくは元からそうだったのか、英lift / 米rideといった100%白黒はっきりした線引きではありません。
イギリスでrideを聞くこともありますし、アメリカ映画などをみていてgive you a liftを聞くこともあります。 （よって、どちらの表現を使っても、通じないということは絶対にありません。）
少しでもご参考になれば幸いです！
アメリカ合衆国 
日本 
