ここでいう「けが」というのは「切り傷」のことだと思います。
ですから、「料理中にけがをした」は、
“I cut myself cooking.”（料理をしていて切った）
のように言えます。これは「料理をしていて自分自身を切った」が直訳です。
英語では「けが」はいろいろな言葉で表されます。
【例】
“Are you OK?”
→大丈夫ですか。／けがはありませんか。
“Are you hurt?”
→けがはありませんか。
“He was injured in a car accident.”
→彼は交通事故でけがをしました。
ご質問ありがとうございました。
絆創膏で手当てできるくらいの切り傷であれば、cutで良いと思います。
I cut it while cooking.
「料理している最中に切ってしまった」
その他の怪我をするの表現例です
wounded＝「負傷する」
He was wounded in a traffic accident.
「彼は交通事故で負傷した」
injure=「怪我する、痛める」
I injured my back.
「私は背中を痛めた（けがをした）」
hurt＝「傷つける、けがをする」
I hurt my leg.
「私は足を痛めた（けがをした）」
ご参考まで
日本 
