「私も質問していいですか？お尋ねしていいですか？」は
Do you mind if I ask you a question too?
Can I ask you something as well?
のように言います。
「私も」の「も」が too と as well に当たります。
Do you mind if ...? で「〜しても良いですか？」と言う聞き方です。
外国人にどこから来たのか聞く場合は、
Where are you from?（出身はどこですか？）
What country do you come from?（どこの国から来ましたか？）
のように聞けますね。
ご参考まで！
May I ask you a question too?
私も質問していいですか？
ただ、突然言われると相手もなんだ？と身構える気もしますので、こういう時にオススメのフレーズをご紹介します。
Just out of curiosity, what country are you from?
ちょっと気になっただけなんですけど、どこの国からいらしたんですか？
curiosity は「好奇心」です。「ただの好奇心なんですけど〜」と訳すのもよいでしょう。
個人的に、「私も質問していいですか？」とわざわざ相手の了解を求めると、しっかりとした質問を想像すると思います。（例えば、実は自分も道に迷っていて道を聞きたい場合など）世間話程度なら、このように言うのも失礼には当たらないと思いますよ。
また、ただの好奇心と言うことで、特に深い意味はないという印象を与えることもできます。
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