この状況に「相手」は英語で「partner」と言います。
「任せる」=「Leave to」・「Entrust with」
・「相手に任せる」=「leave it to my partner」
例えば、「相手にお店を閉めることを任せる」=「I will leave it to my partner to close the store」
・「entrust」とも言えます。例えば、「案内することを相手に任せた」=「I entrusted my partner with guiding me」
「相手に任せる」は次のように言えます。
ーto let the other person decide ...
例:
I'm going to let you decide how we do our work.
「(仕事を)どのように進めるかはあなたに任せます」
I'll let him decide how much he's going to discount the ....「…をどのくらい割り引くかは彼に任せます」
ご参考まで!