"Hanging by a thread"はもうすぐ失敗してしまいますという意味です。人の関係についてもう直ぐ関係がなくなるという意味です。
"friendship" と "relationship"とは人と関係のことです。他の言葉は "marriage"(結婚)もあります。
どちらでも使いますが友達だったら、"friendship"の方が適当で、恋人だったら、"relationship"の方がいいです。
その上仲直りしたいときには "I feel like our friendship is hanging by a thread" と言ったらいいと思います。"i feel like"と前に付けたら優しい言い方になります。