司会進行するって英語でなんて言うの？

イベントを司会進行することを英語でhostと言います。また、「～の司会進行をする」はbe the host of～（～の司会者を務める）とも言えます。hostは「司会者」という名詞も、「司会進行をする」という動詞も、両方としても使えます。

例文

My name is Suzuki, and I will be hosting this meeting.
今回の会議の司会進行を務めさせていただきます鈴木と申します。

My friends asked me to be the host of their wedding ceremony.
友達に結婚式を司会進行するように頼まれた。

Who is going to be the host of the event?
そのイベントの司会進行は誰ですか？

他の方が既に回答していらっしゃいますので、補足として違う表現もあるということでお読みください。

moderateは形容詞として使った場合は「中くらいの」というような意味になりますが、動詞だと「穏やかになる、和らげる；司会をする」という意味があります。名詞にするならmoderatorです。
I will be the moderator for the meeting today.
（今日の会議は私が司会進行を務めます。）
He moderated the meeting quite well.
（彼は会議をかなりうまく司会した。）
などとなります。

参考になれば幸いです。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

to host
司会進行を務める

例：
My father will host the meeting tomorrow.
明日の会議は私の父が司会進行をします。

ぜひ参考にしてください。