「見栄を張る」は英語で「Putting on airs」と言う意味がよく出ますが、最近の若者は使わない言葉だと思います。
「Don't act so arrogant!」の方がいいと思います。「Arrogant」と言うのは「高慢」とか「態度が大きい」と言う意味です。「Don't act」と言うのは「行動をしないで」と直接意味があります。
「Stop acting like you're cool」は「かっこつけるな」と言う意味で使います。「Cool」は「カッコいい」と言う意味で、「Stop acting]は上の「Don't act」と同じ使い方です。「like」は「みたいに」と言う意味です。
「Don't put up a front」はちょっと違って、例えば悲事があったけど顔には出さないとか誰にも相談しないとか、全部が大丈夫という雰囲気を出す時に使いますね。「Don't put up a front」は「嘘しないでね」という意味がありますね。
「見栄を張るな」や「かっこつけるな」というフレーズには、英語では "Don't put on airs" や "Stop trying to act cool" などと言います。ただし、これらの表現は一部カジュアルでフレンドリーなコンテキストで使用するのが適切です。
"Don't put on airs" は直訳すると「見せかけをしないで」で、「見栄を張らないで」という意味合いです。
"Stop trying to act cool" は直訳すると「かっこつけるのをやめて」、「かっこつけるな」という意味合いです。
アメリカ合衆国 
