あなたにこの仕事を任せますって英語でなんて言うの？

あなたにこの仕事を任せます は、上記の文のように I'll entrust this work/task to you.（entrust 委ねる・任せる） I'l assign you this work/task.(assign 割り当てる） I'll let you take care of this work/task. (take care of~ ~（の仕事）をやる） 等といいます。 フォーマルがご希望ということでしたので、1番目または2番めの文がお薦めです。 3番目のtake care of~は、よく使われますが、ややカジュアルになります。

"handle" は【扱う】の意味です。 ➡I'll let you handle this job. で ”この仕事、あなたにやってもらっちゃおうかな！” のようなニュアンスですね。