着手中って英語でなんて言うの？

着手するという言い回しはundertake があります。取り掛かる、請け負うなどの意味もあります。
そのため今着手しているという場合、I’m undertaking the task.と言い表すことができます。
また仕事に取り組んでいる、という場合はI’m working on...というwork onという言い方もあります。

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。

I'm on it.
※「今やっています」とか、「対応中です」というニュアンスです。
や、
I’ve started working on the task.
とすると、「タスクに着手中」となります。

役に立ちそうな単語とフレーズ
work on に取り組む

参考になれば幸いです。