記憶によるとって英語でなんて言うの？

If I remember correctly... で「私の記憶が正しければ・・・」という意味です。
あるいは自信のない情報を伝える時は I believe... 「おそらく〜だと思う」で文章を始めてもいいです。 I think... 「〜だと思う」と同じ使い方で、think よりも自信がなさそうに聞こえます。

as far as I can remember
→私の記憶では

ご質問どうもありがとうございます。
文字通りには「私が思い出せる限り」です。
「私の記憶では」「私が覚えている限り」ということです。

｛例｝

That's never happened before as far as I can remember.
私の記憶では、これは初めてのことです。
【出典：CNBC-Oct 20, 2016】

As far as I can remember, he has never had a cold.
私の記憶では彼は風邪を引いたことがない。
【出典：Knoxville News Sentinel-Nov 2, 2016】

There weren't any buildings there at all, as far as I can remember.
私の記憶では、そこに建物はなかった。
【出典：LDOCE】

As far as I can remember, this is the first time something like this has happened in MLS.
私の記憶では、これは MSL 史上初めてのことです。
【出典：Dirty South Soccer-Feb 10, 2017】

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他の回答とともに参考にしてください。
ありがとうございました。

「私が正しく覚えていれば」の意味です。

他のアンカーの方が挙げてらっしゃるif I remember correctlyと同じニュアンスです。

ご参考になれば幸いです<m(__)m>

この文のserveの意味は「役立つ」、「役割、目的を果たす」
という意味です。

もし私の記憶が私にきちんとその役割を果たしていれば（直訳）
↓
私の記憶が正しければ

という意味になります。

自分の記憶が曖昧で発言に自信が持てない時に
使います。

as far as I rememberは「私の覚えている範囲で、
私の記憶によれば」という意味で使われます。

as far asを用いた表現で他に

as far as I know(私の知る限り)

も良く使われますので、一緒に押さえておいてください。