"to have an established reputation"は「押しも押されもせぬ」を意味します。意味が絶対に通じるので、この言い方を勧めます。
"to be well-established"も「押しも押されもせぬ」を意味します。殆どの場合は"reputation"と言うまでもありませんが、はっきり言いたいなら"to have an established reputation"を使った方が良いです。
"to be established"も「押しも押されもせぬ」を意味します。"established"だけは「設立」の意味もあるので、文脈が薄いならこの言い方は誤解を招くかもしれません。
例文一：
Lady Gaga grew to be a big star with an established reputation in just a few years.
レディー・ガガはわずか数年で、押しも押されもせぬ大スターに成長した。
例文二：
Lady Gaga grew to be a well-established big star in just a few years.
レディー・ガガはわずか数年で、押しも押されもせぬ大スターに成長した。
例文三：
Lady Gaga grew to be an established big star in just a few years.
レディー・ガガはわずか数年で、押しも押されもせぬ大スターに成長した。
・an undisputed star
誰もが認めるスター（押しも押されもせぬスター）
→ undisputed は「異論が出ないほど確かな」という強い表現
・a bona fide superstar
正真正銘のスーパースター
→ bona fide は「本物であることが証明されている」ニュアンス
・Lady Gaga became an undisputed superstar in just a few years.
レディー・ガガはわずか数年で押しも押されもせぬ大スターになった
・Lady Gaga grew into a bona fide superstar in just a few years.
レディー・ガガは数年で本物の大スターに成長した
アメリカ合衆国 
