ご質問ありがとうございます。
残念ながら「自分で出来ることは自分では率先してやって」のような場合の「率先して」には、直訳がございません。
若干ニュアンスが違ってきてしまいます。
それでも一番近いニュアンスなのが、be willing toになるかと思います。
ただ、このフレーズを質問者様のシチュエーションでは使わないです。
このようなシチュエーションでは…
Hey guys, please help mummy out as much as you can.
(家族のみんなに向かって)ねえ、みんな、ママのことなるべく手伝ってくれない？
他には…
Please help me with the house chores as much as you can.
家事とかなるべく手伝ってちょうだい。
ご参考になりましたら幸いです。
日本 
