ご質問ありがとうございます。
残念ながら「自分で出来ることは自分では率先してやって」のような場合の「率先して」には、直訳がございません。
若干ニュアンスが違ってきてしまいます。
それでも一番近いニュアンスなのが、be willing toになるかと思います。
ただ、このフレーズを質問者様のシチュエーションでは使わないです。
このようなシチュエーションでは…
Hey guys, please help mummy out as much as you can.
(家族のみんなに向かって)ねえ、みんな、ママのことなるべく手伝ってくれない?
他には…
Please help me with the house chores as much as you can.
家事とかなるべく手伝ってちょうだい。
ご参考になりましたら幸いです。
Take the initiative and do what you can by yourself.
Take the initiative and do what you can by yourself.
Please do what you can on your own first.
Be proactive and handle what you can yourself.
「自分で出来ることは自分で率先してやって」は、家族に対して言う場合なら、
Take the initiative and do what you can by yourself.
が自然です。
take the initiative は「率先して行動する」「自発的に動く」という意味で、「率先してやって」というニュアンスをうまく表せます。