ーMy dog is always jumping up on my lap.
「うちの犬はいつも私の膝に飛び乗る。」
jump up on one's lap で「膝に飛び乗る」と言えます。
lap で「膝」という意味です。
ーMy dog often jumps on my lap and then he falls asleep and starts snoring.
「うちの犬はよく私の膝の上に飛び乗り、眠っていびきをかき始める。」
fall asleep「寝入る・眠り込む」
snore で「いびきをかく」
ご参考まで！
カナダ 
