Could you put all the bills together and send them to me please?
このシチュエーションに「まとめて」は put together にすればいいと思います。
「そこで、溜め込まずに、ある程度まとまったら、都度メールしてほしい」というのは So they don't build up, if you could put them together to some degree, and send them to me like that each time I would really appreciate it と表現できると思います。
参考になれば幸いです。