もし時間に余裕ができたら 言います。そのときはよろしくお願いしますって英語でなんて言うの？

If I could find the time, I would like to take up on your offer＝もし時間に余裕が出来れば、是非お願いしたいです

I'm currently pressed on time, but I'll make sure to let you know when my schedule changes＝今は時間に余裕がないのですが、スケジュールが変わるようでしたら連絡します

どちらとも似たような言い回しですね。
本当にやりたい気持ちがあるのであれば、いつまで忙しいのかを伝えるのがベターです：

I'm busy all throughout June, but I should have spare time thereafter＝７月いっぱいは忙しいけど、それ以降は空き時間があるはずだ

Spare time＝空き時間
Thereafter＝それ以降

要するに「時間がもっとあったら、先生のレッスンを受けたい」
という気持ちが伝えたいのかなと解釈しました。

I wish I had more time and could take your lessons.

のように仮定法を使って表現するのでいかがでしょうか？